A square with perimeter 16 is inscribed in a circle. What is the area of the circle?

বর্গ : বর্গ এমন একটি আয়ত যার সন্নিহিত বাহুগুলো সমান। অর্থাৎ, বর্গ এমন একটি সামান্তরিক যার প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ এবং বাহুগুলো সমান। বর্গের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে বর্গক্ষেত্র বলে।

বর্গ (Square)

যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান এবং চারটি কোণই সমকোণ (90°), তাকে বর্গ বলে।

অর্থাৎ, বর্গ হলো এমন একটি চতুর্ভুজ যার সকল বাহু সমান এবং প্রতিটি কোণ 90°।

চিত্রের ধারণা

ধরি, ABCD একটি বর্গ।

তাহলে,

• AB = BC = CD = DA
• ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°
• AB ∥ CD এবং BC ∥ AD

বর্গের বৈশিষ্ট্য

• চারটি বাহুই সমান হয়
• চারটি কোণই সমকোণ হয়
• বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হয়
• কর্ণদ্বয় সমান হয়
• কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে
• কর্ণদ্বয় পরস্পরের উপর লম্ব হয়
• প্রতিটি কর্ণ কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে

কর্ণের বৈশিষ্ট্য

যদি AC ও BD বর্গের দুটি কর্ণ হয় এবং তারা O বিন্দুতে ছেদ করে, তবে

$\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$

এবং

$\mathrm{AO}=\mathrm{OC}$

এবং

$\mathrm{BO}=\mathrm{OD}$

আবার,

$\mathrm{AC}\perp \mathrm{BD}$

অর্থাৎ কর্ণদ্বয় পরস্পরের উপর লম্ব।

বর্গের পরিসীমা

বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,

$P=4a$

যেখানে,

• P = পরিসীমা
• a = এক বাহুর দৈর্ঘ্য

বর্গের ক্ষেত্রফল

বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,

$A=a^2$

অর্থাৎ,

ক্ষেত্রফল = বাহু × বাহু

কর্ণের দৈর্ঘ্য

যদি বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a হয়, তবে কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে:

$d=a\sqrt{2}$

এটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাওয়া যায়।

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের ব্যবহার

বর্গের কর্ণ নির্ণয়ে পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করা হয়।

যদি এক বাহু a হয়, তবে

$d^2=a^2+a^2$

অর্থাৎ,

$d^2=2a^2$

সুতরাং,

$d=a\sqrt{2}$

উদাহরণ ১

একটি বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সেমি হলে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান:

$A=8^2$$A=64$

অতএব, বর্গটির ক্ষেত্রফল 64 বর্গ সেমি।

উদাহরণ ২

একটি বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সেমি হলে কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান:

$d=10\sqrt{2}$

অতএব, কর্ণের দৈর্ঘ্য

$10\sqrt{2}$ সেমি

বর্গ নির্ণয়ের শর্ত

• যদি একটি আয়তের চারটি বাহুই সমান হয়, তবে সেটি বর্গ
• যদি একটি রম্বসের একটি কোণ 90° হয়, তবে সেটি বর্গ
• যদি একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান এবং চারটি কোণ সমকোণ হয়, তবে সেটি বর্গ

বাস্তব জীবনে ব্যবহার

• ফ্লোর টাইলস তৈরিতে
• দাবার বোর্ডে
• জানালা ও ফ্রেম ডিজাইনে
• স্থাপত্য ও নির্মাণ কাজে
• জ্যামিতিক নকশা ও গ্রাফিক্সে